47Г5

При а - г 5 плотность тока становится исчезающе малой. Таким образом, при больших частотах ток сконцентрирован в основном в тонком поверхностном слое.

fcJi(fco)

При \ка\ <С 1 (малые частоты): При \ка\ » 1 (большие частоты):

а \Я1 с \ а

Диссипация энергии при малых частотах пропорциональна ш , а при больших -у/ш.

Таким образом, добавочное магнитное поле, связанное с наличием цилиндра, равно нулю при г> а, хотя добавочное электрическое поле отлично от

нуля. Это связано с тем, что точное уравнение rotH = справедливое

вне проводника, заменяется приближенным уравнением rotH = О (в квазистационарном приближении током смещения пренебрегаем). При точном решении задачи добавочное магнитное поле вне проводника также будет отлично от нуля (см. задачу 452, в которой рассматривается дифракция плоской волны на проводящем цилиндре).

380. При малых частотах (fca <С 1 или 5 » а)

~ 47Г 52 ~ 2с

следовательно, плотность тока линейно зависит от г и пропорциональна частоте.

При больших частотах (fca » 1 или 5 <а) нужно использовать асимптотическую формулу для функции Бесселя, с помощью которой получим

\ 2 Мка)

382. 0 = 0-\-i0" = -9 - тг -гтг -4 [ fco Jo(fco)J

При \ка\ » 1 (большие частоты):

0 = -(l--0" =

ау/Ъшй) 4v27rCTW

следовательно, при больших частотах /9" -> О, т. е. потери уменьшаются, ввиду вытеснения поля из проводника. При \ка\ <С 1 (малые частоты):

ы Ж а°а ш all жа аш

Таким образом, при ш -> О /9 -> 0; это связано с тем, что у, = 1,т. е. статическая магнитная поляризуемость равна нулю.

383. Магнитный момент, создаваемый вихревыми токами, вследствие симметрии системы будет направлен вдоль внешнего магнитного поля. Поэтому во внешней области полное магнитное поле Нг можно записать в виде

4r(m • г) 2т, „ Н2(г) =-2---Г + "о-

Здесь m - неизвестный магнитный момент единицы длины цилиндра, сов-падаюший по направлению с Но; г - радиус-вектор в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра. Полю Нд соответствует векторный потенци-

. 2(т X г) , ,„ ,

ал Аг =-5--h (Но х г), который в проекциях запишется так:

А2г = А2 = { + Яог) sin а, Агг = = О (2)

(угол а отсчитывается от направления Но).

Таким образом, во внешней области векторный потенциал имеет только продольную (относительно оси цилиндра) составляюшую, пропорциональную sin а. Условиям непрерывности составляющих поля на границе можно удовлетворить, если искать векторный потенциал во внутренней области в аналогичном виде:

Ахг = Ах= F{r) sin а, А = Ai = 0. (3)

Электрическое поле Б выражается в общем случае через оба потенциала: А и (р.

2Яо = £1НоЛ А

кМкаУ 2 \ ка Мка))

Из выражения для т следует, что поперечная магнитная поляризуемость цилиндра

1 А .

ка Jo (fca)

вдвое больше его продольной поляризуемости (см. задачу 382). Компоненты магнитного поля внутри цилиндра определяются из (4) и (5):

ffi. = i = 2ffo:cosa, Я1. = 0. (7)

г оа krJo{ka)

Определим еще плотность тока в цилиндре. По формуле j = rot Н получим

J сНо Jl(fcr) . т п /оч

Из формулы (8) видно, что в каждый момент времени в двух половинах цилиндра 0о:7ГИ7го:27г токи текут в противоположных направлениях; полный ток через сечение цилиндра равен нулю. Радиальная

Наложим, как обычно, на потенциалы дополнительное условие

divA + t = 0. с от

Тогда, поскольку div А = О, что следует из формул (2) и (3), будем иметь = -iwip = О, так что Е = - = А. Поэтому А будет удовлетворять такому же уравнению, как и электрическое поле (см. (VII. 12). Решением этого уравнения, ограниченным при г = О, является функция Бесселя:

F{r) = CJiikr), Ai = CJi{kr) sina. (4)

Постоянные С и ш в (4) и (2) определяются из условия равенства внутреннего (Hi) и внешнего (Нд) полей на границе цилиндра: Hi = при г = а. Использовав (П3.9), получим