(«-r)=.--(-5). f = -wA.

Подставляя эти выражения в равенство (1) и отделяя вещественную и мнимую части, получим

e„{t) = j{t)

Выражение в квадратных скобках представляет комплексное сопротивление цепи. Активное сопротивление равно R + Яг(ш), где

Величина R связана с потерями на нагревание проводника; величина Rr{u}) характеризует потери энергии на излучение и называется сопротивлением излучения (см. следующую задачу).

ъшЫ.ш) Реактивное сопротивление равно---, где

L{uj) = j) j)

представляет собою индуктивность, зависящую от частоты.

Рассмотрим случай, когда можно считать = » где i - размер

контура. В области интегрирования < 1 и, с учетом квадратичного члена в разложении косинуса, получим

потери на джоулево тепло за единицу времени. Интеграл / V(p-<u = § (кр = = 0. Последний интеграл преобразуем следующим образом. С учетом запаздывания

377. Ь{ш) = L + 6 . 4, RrH = {У-Кольцо с током является магнитным диполем. Энергия, излучаемая в единицу времени, дается формулой - • где m - магнитный дипольный момент.

3 с

Значение коэффициента пропорциональности между излученной энергией и равно и совпадает с Rr{to).

§ 2. Вихревые токи и скии-эффект

378. H{x) = Hsi.4/S + cos4/s) °=--°" Vl-

(fe-kl)

При S h, Н{х) = Ще ; при S h, Н{х) = Щ (ср. с задачей 247).

379. Так как система симметрична относительно оси цилиндра, а первичное магнитное поле Hq однородно, то ясно, что вихревые токи в цилиндре будут течь по окружностям в плоскостях, перпендикулярных его оси. Эти токи создадут такое же магнитное поле, какое создавалось бы множеством отдельных коаксиальных соленоидов. Но поле соленоида во внешнем пространстве равно нулю, а внутри соленоида направлено вдоль его оси. Таким образом, полное магнитное поле вне цилиндра совпадет с полем Яо, а внутри цилиндра определяется первым уравнением (VII. 12), которое ввиду осевой симметрии примет вид

Практичесю! для вычисления самоиндукции нужно использовать формулу (V.18), так как

t td\- dl геграл j } -- расходито

бесконечно тонким (линейным).

J1 . J1/

интеграл f § -j:- расходится. Эта расходимость вызвана тем, что проводник считается

Первый член в этом выражении не зависит от частоты и представляет собой обычную индуктивность; второй член дает поправку, существенную при высоких частотах.

В разложении синуса нужно учесть кубический член, так как интеграл от первого (линейного) члена обращается в нуль. Сопротивление излучения

Eidl = if j BrdS.

Внутри цилиндра имеется только одна компонента электрического поля Еа, из граничного условия на поверхности стержня и из симметрии системы следует, что вне цилиндра поле Е также будет иметь лишь составляющую Еа, зависящую только от г. Если выбрать в качестве контура I окружность, то контурный интеграл дает 2кгЕа. При вычислении интеграла по площади используем формулу (П3.12). Окончательно получим:

ксНо Мка) а Яо. 2 2ч

= -M4-r+2F- еслиа<г<6.

ксНо Ji{ka) а,Но,,2 о. ,

При отсутствии цилиндра, т. е. если а = О, поле будет равно

Еа = ЯоГ (г < 6), Еа = {г> Ь).

fc2 = i, Н = Н,{г), На = Нг = 0,

и граничным условием Н{а) = Hq.

Решение, конечное при г = О и удовлетворяющее этому граничному условию, выразится через фушщию Бесселя нулевого порядка:

Jo(ka)

Вне цилиндра имеем

Н = Но при а<г<6, Я = 0 при г > 6.

Плотность тока и электрическое поле внутри цилиндра вычисляются по формуле (VII. 11):

J=Ja = aEQ = -.-Яо, Er = Ez = 0.

Для определения электрического поля вне цилиндра воспользуемся уравнением Максвелла для rot Б, которое запишем в интегральной форме: