{l-qi)q-{l-q2)q

373. Коэффшщент передачи К определяется из результатов предыдущей задачи:

qi - 92

(l-92)9f-(1-91)92

В знаменателе этого выражения имеются множители q и q2. Так как qi • q2 = 1,10 возможны два случая:

а) 9i = I92I = 1; б) \qi\> 1, \qi\< 1.

В первом случае qi и q2 будут по модулю равны единице, К тоже будет порядка единицы. Во втором случае при ЛГ » 1 \qi\ » 1, а \q2\ <С 1, поэтому

к= -\1.

(l-92)9f

Интервалы частот, для которых реализуются случаи а) и б), определяются из уравнения (2) задачи 372. Из него следует, что

Если подкоренное выражение отрицательно, то 91 и 92 - два комплексно сопряженных корня, по модулю равных единице, т. е. осуществляется случай а). При положительном подкоренном выражении, 91 и 92 вещественны и различны, т.е. имеет место случай б). Приравнивая нулю подкоренное выражение, найдем область значений Zi, Z2 для случая а):

где qi,q2 - корни уравнения

9-(2+§)9 + l=0. (2)

Постоянные А, В определяются из граничных условий Jn = 0; {Jo -- Ji)Z2 = Ui. Второе условие означает, что между точками аЬ (см. рис. 23) приложено напряжение Ui. Используя равенство qiq2 = 1 вытекающее из (2), получим окончательно:

U2 = Jn-iZ2 = Ui-

LiCi CiC2{AL2 + Liy

374. Рассмотрим п-й замкнутый контур искусственной длинной линии (рис. 76). Этот контур можно рассматривать как эквивалентную схему для отрезка длиной а линии с распределенными параметрами, причем Д1, будет индук-тивностью, а ДС - емкостью данного отрезка. о-.JllJl

В случае произвольной зависимости тока в ли- "Л НИИ от времени уравнение Кирхгофа для этого Л-i /-Lr J„

v£n+1

контура примет вид:

-?-аГ + -- Рис.76

где qn-\,n и qn+i,n - заряды на верхних обкладках левого и правого конденсаторов. Дифференцируя (1) по времени и пользуясь соотношениями 9„-1,„ = -Jn + Jn-i, 9n,n+i =-п- Jn+i, получим:

ДХ + (2Л - Л-1 - = 0. (2)

Теперь нужно перейти от переменной п к переменной z - координате точки линии с распределенными параметрами. Для этого положим

Jn{t) = J{z,t), Jn-i(t) = J{z-a,t), Jn+i{t) = J{z + a,t)

и вычислим разности:

Jn Jn-i ~ a 2dz Jn .in+i- 2a2«-

Подставляя эти разности в (2) и замечая, что L = и С = - индуктивность и емкость на единицу длины, получим уравнение

с2 де с dz-"

Это соответствует значениям ш", лежаощм между

С2 c2(4Cl+C2)

фД(7 =ЬДС а! (4)

где R - активное сопротивление проводов на Рис. 77 единицу длины.

375. Решая уравнение (3), полученное в предыдущей задаче, найдем

ш = vk,

где V = f - скорость распространения волн в длинной линии, fc =

= г = 1,2,3...,1/иС - индуктивность и емкость на единицу длины.

В полученном спектре длинной линии, в отличие от спектра цепочки с сосредоточенными параметрами, число собственных частот бесконечно. Это связано с тем, что длинная линия является континуумом с бесконечным числом степеней свободы, тогда как в цепочке число степеней свободы N - конечно. В случае идеальной длинной линии характерно также отсутствие дисперсии.

376. Исходим из закона Ома в дифференциальной форме: j = сг(Е + + Ест), где Ест - напряженность поля сторонних сил. Выразим Е через потенциалы:

E=-V-1M, E„4+v„ + lf.

Считая проводник тонким, проинтегрируем обе части последнего равенства по контуру, совпадающему с проводником:

j>„.d\ = j>.d\ + j>Vip-d\+\j>. (1)

Интеграл, стоящий в левой части равенства (1), представляет собою стороннюю э. д. с. ё„, включенную в цепь; интеграл § <й = JR определяет

Это - уравнение длинной линии без потерь. В реальной длинной линии всегда имеются потери как за счет сопротивления в проводах, так и за счет неидеальной изоляции между проводами.

Эквивалентная схема для случая, когда второй фактор не учитывается (т.е. изоляция проводов считается идеальной), приведена на рис. 77.

Уравнение длинной линии (телеграфное урав-дд AL пение) в этом случае можно получить таким же

"(JTP*-Т-» способом, как было получено (3):