Величина имеет смысл «длины волны» колебаний в дискретной цепочке;

для длинных волн (А > а) имеем ка >С 1, откуда следует, что фазовая и групповая скорости v=Vg= ша и не зависят от fc - дисперсия отсутствует. Графики зависимости ш и от fc приведены на рис. 74.

Электрические колебания рассмотренной цепочки аналогичны механическим колебаниям линейной одноатомной цепочки, которая может служить одномерной моделью кристалла. Индуктивность L аналогична массе атома, величина 1/С - коэффициенту жестко-

370. Дг =

371. Обозначим токи в контурах с самоиндукцией Li через J, в контурах с самоиндукцией Lq - через J.

Уравнения Кирхгофа будут иметь вид:

Рис. 74

+ (2л - - = о,

-Л + ;;(2./;-Л-Л-1) = 0.

Введя частоты = , Ш2 = , получим

n-l).J

Решение этой системы будем искать в виде

Подробнее о колебаниях атомных цепочек см., например, М.А.Леонтович, Статистическая физика, Гостехиздаг, 1944 г.; М. Борн и Хуан Кунь, Динамическая теория кристаллических решеток, ИЛ, 1958 г. Аналогии между электрическими и механическими колебаниями рассматриваются в книге Л. Бриллюэна и М. Народи [19], га. 3 и 4.

Чтобы получить весь спектр колебаний, нужно менять х в пределах от О до тт. Значения н, как и в задаче 369, могут быть найдены из граничных условий.

Наиболее существенным отличием от случая цепочки с одинаковыми звеньями является то, что каждому значению х теперь соответствуют две частоты, как следует из формулы (5). Поэтому существуют две ветви

Рис. 75

колебаний. Обозначим частоты этих колебаний через Ш+ и ш-, где индексы «-Ь» и «-» соответствуют таким же знакам перед корнем в формуле (5). Зависимость частот от х изображена графически на рис. 75. Колебания с частотой ш- аналогичны колебаниям в цепочке с одинаковыми звеньями. В частности, при малых х (длинные волны) имеем

Ш- =

х/2{ш1ТЩ)

т. е. дисперсия отсутствует.

где А,В,>( - постоянные. Подставив эти решения в (2), получим

А{2ш1 + и?) = Вш1{1 + е-), В{2ш1 - и?) =Ai4{l+ (4)

Из равенства нулю определителя этой системы найдем связь между частотой шпн:

для ветви ш+

(А) =

\В)+ ujI Li-

Для ветви ш- колебания токов в соседних контурах происходят с одинаковой амплитудой в одной фазе. Для ветви ш+ колебания в соседних контурах противофазны, а амплитуды колебаний обратно пропорщюнальны индук-тивностям. При х = тг

Переходя в формуле (4) к пределу х тг, получим

Таким образом, в предельном случае х = к колебания с частотой ш+ = = j происходят только в контурах с индуктивностями Li,a колебания

с частотой ш- = Сд/-р - в контурах с индуктивностями Lq.

Рассмотренные в этой задаче колебания с частотами ш- и ш+ являются аналогом акустических и оптических колебаний в линейной атомной цепочке, состоящей из атомов двух сортов с разными массами (см. литературу, указанную на стр. 359).

Jn=Aq+Bq, (1)

Для ветви ш+ при малых х получим выражение для закона дисперсии

вида

ш+ = а + Ьх.

При x фазовая скорость стремится к бесконечности, а групповая скорость обращается в нуль.

Для исследования характера колебаний в обеих ветвях найдем отнощение амплитуд токов в соседних контурах для очень длинных xIyi самых коротких {х близко к 7г) волн. Из равенств (4) имеем при х-1: для ветви ш-