362. С = Со, L =

ш1Со

2 2

363. Q - i . -

Col с/о

Со I с/о

364. Обозначим токи, текущие через индуктивность, конденсатор и батарею, через J\,J2, 3- На основе законов Кирхгофа получим уравнения

1 + 2 + 3 = О, 4-1 = = ii) + -ЗД, (1)

где q{t) - заряд на обкладке конденсатора, связанный с J2 соотношением J2 = q,

О при f < О, при f > 0.

Из (1) получаем уравнение второго для тока i. Соответствующее характеристическое уравнение имеет корни

в зависимости от соотношения между R, L, С возможны три случая:

а) Шо > 77; находя решение для Ji методом вариации произвольных постоянных Лагранжа (см. [94], § 25), получим

i(0 = [l-e-(g + cos..)],

теш = ш1-[-);

б) С.0 <;Mt) = I [1 - + chQ.)],

в) wo = Mt) = I [1 - (1 + 2ксУ~] ™<=ледних двух случаях переходный процесс является полностью апериодическим, колебаний не возникает.

О при f < О, t

U2{t) = {Uo" при о < f < г,

UoU яс- -е «с-j при t>T.

366.

U2{t) =

О при f < О,

Uq при 0<f<r,

при t> т.

367. На вход четырехполюсника нужно подать импульс

Uo[e

0 при t<-T, кЕо[1 + + Щ при -r<f<0,

/iEo(l-;) при 0<f<r, о при t>T,

Начало отсчета времени выбрано так, что поле между пластинами конденсатора достигает максимума при t = 0.

368. 7(f) =

cos(c<;f + (ро -ip) -е cos((/?o -

где tgip = Переходный процесс отсутствует, если tgipo = Это

условие имеет простой смысл: в момент включения стационарное значение тока должно быть равно нулю.

369. При гармонической зависимости токов от времени, уравнение Кирхгофа для п-го контура запишется так:

+ С-п - Jn-1 - Jn+l) = 0.

Уравнение (1) представляет собою разностное линейное уравнение с целочисленной независимой переменной п. Оно имеет (ср. с задачей 223) два линейно независимых решения sin хп и cos хп, причем частоты собственных колебаний выражаются через параметр х:

c<;2 = 3c<;gsin2, =(2)

Используя граничные условия Jq = Jn = О, находим

„=Asinxn, =- (3)

Здесь г может принимать любые целочисленные значения (г = 1,2,...). Значение г = О соответствует нулевому току в цепи. Однако вследствие периодичности sin , входящего в (2), число собственных частот системы

будет конечно. Чтобы получить весь спектр частот, достаточно менять г в пределах 1 г ЛГ. При этом х будет меняться в пределах О х тг, каждому X будет соответствовать одна собственная частота, а всего частот будет N, как и должно быть в системе N связанных контуров. Они будут лежать в интервале О < ш < 2uJo.

Для интерпретации величины х введем координату j/„ = an n-й ячейки (а - «длина» одной ячейки цепи). Тогда (3) вместе с временным множителем можно записать в виде

A(f)=sinA;y„e---*, (4)

где А; = f.

Выражение (4) представляет собою суперпозицию двух волн, бегущих в противоположных направлениях. Величина к играет роль «волнового вектора» колебаний, распространяющихся по цепочке из отдельных дискретных звеньев. Фазовую и групповую скорости этих волн можно вычислить по обычным формулам

Поскольку зависимость ш от к нелинейна, v,p и Vg отличаются друг от друга - имеет место дисперсия. Из (2) находим:

20 • ка ка /а\

v,p = -jsm-, Vg=u}Qacos-. (6)