т{и? + iyuj)

где 7 = .

Дипольный момент единицы обьема получим умножением г на заряд электрона е на число частиц в единице обьема N, после чего определяются поляризуемость среды а{ш) и дюлектрическая проницаемость е{ш):

.и-1 + 4™и-1--д-, 1-4. (2)

С помощью уравнения (1) и закона Ома найдем связь между удельным сопротивлением р и коэффициентом 77:

что совпадает с обычным граничным условием на поверхности проводника.

Значение >? в данном случае получается вдвое ббльшим, чем в предыдущей задаче, так как имеются два сорта подвижных ионов.

§ 2. Поляризация вещества в переменном поле

311. е = 1 + 47гЛГаЗ, ц = 1 - 2тгМа < 1.

Такой диэлектрик является диамагнитным. Проницаемости е и не зависят от частоты вследствие предположения об идеальной проводимости сфер.

Для того чтобы искусственный дюлектрик можно было рассматривать как сплошную среду, должны выполняться условия

А > /, А > а,

где I - среднее расстояние между сферами. Пренебрегать отличием действующего поля от среднего можно лишь при малой поляризуемости среды (т. е. при АжМа 1).

312. Уравнение движения электрона запишется в виде

тг -Ь 77г = еЕое-**. (1)

Его частное решение, соответствующее вынужденным колебаниям, имеет вид

еЕое-»*

Из формул (5) следует, что е и ст зависят от частоты. При ш < 7 они принимают свои статические значения

7 т7

Как следует из (4), (5), комплексная дюлектрическая проницаемость проводящей среды при малых частотах {ш 0) обращается в бесконечность. При больших частотах она принимает вид

е{ш) = е{ш) = 1-4-

Такая зависимость £{ш) при больших частотах справедлива также и для диэлектриков.

Оценим порядок величины 7 = Для меди (проводимость в статическом случае ст = 5 • 10" сек~). Из формулы (3) следует:

ЛГе2 Noe4

где iVo « 6 • 10моль~ - число Авогадро, А и 63,Ь г/моль - атомный вес и d и 8,9 г/см - плотность меди. Оценка дает 7 « 10""*ceл:~; для сравнения укажем, что видимой части спектра соответствуют частоты w 10 сек~.

Таким образом, в этом случае можно считать, что проводимость сохраняет значение, которое она имеет в стационарном случае, вплоть до частот, лежащих в инфракрасной области спектра. Однако нужно иметь в виду.

Этот же результат можно получить путем сравнения диэлектрической проницаемости (2) с комплексной диэлектрической проницаемостью (VIII.8), выраженной через проводимость:

e{ш)=e + гЩ. (4)

Отделяя в формуле (2) вещественную и мнимую части, находим

что при высоких частотах, когда длина свободного пробега электрона становится сравнимой с глубиной проникновения поля в металл, начинают сказываться эффекты пространственной неоднородности поля и макроскопическая величина е (дюлектрическая проницаемость) теряет смысл. (Подробнее об этом см. [34, 66], § 67.)

Полученные в этой задаче результаты в ограниченной области частот применимы к металлу, а также к полупроводнику и к ионизованному газу (плазме), если движением положительных ионов можно пренебречь. Вычисление дюлектрической проницаемости плазмы с учетом движения положительных ионов см. ниже в задаче 321.

313. Молекулы диэлектрика не обладают сферической симметрией, поэтому внешнее поле Бо частично ориентирует их, и диэлектрик в целом становится анизотропным. При этом ориентирующим действием переменного поля, в силу условия (g" < Ео, можно пренебречь. Поскольку причиной анизотропии является внешнее электрическое поле Ео, одна ю главных осей тензора дюлектрической проницаемости будет совпадать с его направлением, остальные две главные оси будут перпендикулярны Ео.

Обозначим компоненты полярюуемости молекулы в этих осях через /Зд. (значения г, fc = 1 соответствуют оси, параллельной Ео). /Зд. выразятся через /9*) по обычной формуле:

Pik = аиактйт = {/3- /З)апак1 + /35ik,

где ац - косинусы углов между осями симметрии молекулы и главными осями тензора диэлектрической проницаемости (использовано соотношение ацак1 = Sik, вытекающее из ортогональности матрицы а). Чтобы подсчитать тензор диэлектрической восприимчивости для единицы обьема диэлектрика, нужно найти с помощью формулы Больцмана статистические средние величин /9., т. е. усреднить произведение ацак!-

Если обозначить полярные углы оси симметрии молекулы в штрихованной системе через i?, ip, то величины ац запишутся так:

ац = cos 1?, ai2 = sin i? cos ip, ais = sin i? sin ip.

Проводя усреднение с помощью формулы Больцмана (как в задаче 302),

(А, - /3S)£;g

получим с точностью до членов, линейных по а = ---: Oiiiaki = о при г 7 fc.