306. e = i

l + 3x + 3(l + x + xy

где X = 4nNl3. Поляризуемость /3 для полярных веществ в слабых полях дается формулой

3fcT

где р - дипольный момент молекулы, fc - постоянная Больцмана, Т - температура.

При X <1, когда отличие действующего на молекулу поля от среднего поля становится очень малым,

е = 1 + х = 1 + АтгМ/З.

307. Полная магнитная восприимчивость равна сумме парамагнитной и диамагнитной восприимчивостей (см. [101]):

Входящий в эту формулу магнитный момент одного ротатора m может быть вычислен следующим образом. На основе известной теоремы имеем

-=2 (2)

где К - момент количества движения частицы. В случае ротатора К связан с кинетической энергией формулой

плотности обьемных и поверхностных зарядов в диэлектрике связаны с вектором поляризации формулами р = - divP, ст = Р, то из (3) следует, что квадрупольная поляризация эквивалентна дополнительной дипольной поляризации

* 2 dxi

и двойному слою с мощностью ti.

Формулы (3) можно получить также из рассмотрения энергии диэлектрика, обусловленной квадрупольной поляризацией.

Поэтому среднее статистическое значение К" выражается через среднюю кинетическую энергию:

= 2maWk. (4)

Но средняя кинетическая энергия Wk может быть найдена по теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Поскольку ротатор имеет две степени свободы, Wk = kT. Подставляя (4) и (2) в (1), находим X = О- Этот результат находится в соответствии с общей теоремой, согласно которой полный магнитный момент тела, подчиняющегося классической статистике, равен нулю. Отличный от нуля магнитный момент получается только в том случае, когда делается предположение о существовании дискретных электронных орбит в атомах. Но такое предположение означает выход за рамки классической теории.

308. Концентращш, ионов (ЛГ) и электронов (п) определяются по формуле Больцмана (VI.6):

Zeip eip

N = Noe~~i, п = пое, (1)

где ip{x, у, z) - электростатический потенциал. Множители перед экспонентами выбраны так, чтобы при Т -> оо, когда взаимодействие частиц становится несущественным, N и п переходили бы в iVo и по. На основе (1) плотность заряда зашплется в виде

Zetp etp

p = ZeN-en = e{zNoe~-noeiy (2)

Потенциал ip должен бьггь определен путем решения уравнения Пуассона:

Д( = -47гр = -47ге(ЛГое пое«=]. (3)

Чтобы решить это уравнение, используем условие малости энергии взаимодействия по сравнению с тепловой энергией:

Zeip

<1,

<1.

Разлагая экспоненты в ряд с точностью до членов, линейных по ip, и используя условие электронейтральности газа ЛГо = по, получим

Подробнее об этом см., например, [70].

Таким образом, ион окружен «облаком» электронов и других ионов, плотность которого убьшает по экспоненциальному закону, а средний радиус l/x тем меньше, чем ниже температура.

Рассмотренный в этой задаче метод вычисления потенциала принадлежит Дебаю и Хюккелю и применялся ими в теории сильных электролитов. Константа 1/н называется радиусом Дебая-Хюккеля.

309. Электрическая индукция внутри пластинки описывается формулой

где X = yg/- При > 1 имеем вблизи поверхностей х = ±h

D{x) = Eoe-C-Il);

отсюда следует, что при х - /i > , D{x) = О, т.е. поле проникает

в проводник на глубину 1/н. В слое такой же толщины концентрируется заряд

Аж дх An

Плотность «поверхностного» заряда, которая рассматривается в макроскопической теории, получается интегрированием р. На границе х = h получим

Это позволяет записать уравнение (3) в виде

Ду? = >?>р. (5)

Потенциал <р может зависеть только от расстояния г до рассматриваемого иона. Сферически симметричное решение (5) имеет вид

Потенциал не может возрастать на бесконечности, поэтому Сг = 0. Ci определяется из условия, что при г- < потенциал должен переходить в чисто кулоновский потенциал рассматриваемого иона:

Ze Ci