Определяя затем р и р" из системы (1), с помощыо формулы р = р +р" = = /9(1)£; найдем

2(а + 2/3)

2(а + 2/3")

/3 аЗ(а + 2/3") /3 а{а + 213)

б) Внешнее поле перпендикулярно оси молекулы. Аналогичным путем получаем

/3(2)=/3(3) =

all

/3 с?(с?-0) Р" a\aff) При /9 = /9" выражения /9(1) и /9(3) упрощаются:

Средняя поляризуемость

Д= 1((1)+(2)) = !

1 + S

301. а) Диэлектрик в целом будет анизотропным. Главные значения тензора поляризуемости диэлектрика (ср. (VI.4)):

а(*) =

АГ/9(»)

1 лГ/9(*)

б) В случае беспорядочной ориентации молекул в макроскопических объемах диэлектрика не будет никаких физически выделенных направлений, кроме направления внешнего поля. Поэтому средний дипольный момент молекулы р будет пропорционален действующему на молекулу полю 8:

p = (3g.

Рг = /Згкк = /Згкк,

где усреднение производится по макроскопическому малому обьему. Из сравнения двух последних формул следует, что

13 = 01=022 = 033, Ак = 0 (npnifc). Таким образом,

/9= (/311+/922 + /Ззз).

Но сумма диагональных компонент тензора есть инвариант, равный сумме главных значений /9) + /З) + /З) (см. задачу 9). Поэтому

0=l(0W+0i)+0i)).

Коэффициент поляризации диэлектрика а связан с 0 обычной формулой (VI.4).

302. Если ось молекулы ориентирована под углом в к направлению внешнего поля Ео, то энергия молекулы запишется в виде

= -р • Ео = -(/9i cos2 в+ 02 sin2 в)е1

Число частиц в единице обьема, оси которых направлены под углом в относительно Ео, дается формулой Больцмана (VI.6). В условии нормировки (VI.7) величина N должна иметь смысл числа частиц в единице обьема. Вектор поляризации определяется формулой Р = Np, где р - усредненный по распределению Больцмана дипольный момент одной молекулы. Поскольку в отсутствие поля молекулы ориентированы хаотически, р будет иметь направление внешнего поля.

В соответствии с этим вычисляем величину р по формуле

Ео j exp (- ) cos2 в+ 02 sin2 в) sin в сШ

/exp(-)sin0d0

где через рц обозначена компонента дипольного момента молекулы, параллельная полю. По условию задачи поле - слабое, поэтому достаточно

С другой стороны, имеем, очевидно:

15 кТ

Как видно из этой формулы, зависимость между Р и Ео получается нелинейной, и а не является коэффициентом пропорциональности, не зависящим от Eq. Оценим величину поправочного члена iron обычных температурах (Т = 300 К). Считая /9i - /?2 порядка 10~см, получим д Т да 10. Таким образом, этот член мал, если Eq < 10 в/см. Pi -№

Пренебрегая поправочным членом, получим для а прежнее выражение:

a=iiV(/9i + 2/32)

(см. задачу 301).

305. Дополнительный потенциал, обусловленный квадрупольной поляризацией диэлектрика, зашплется в виде

а2(1/д)

где R - расстояние от точки наблюдения до элемента обьема dV, а интегрирование ведется по обьему диэлектрика. С другой стороны, потенциал объемных и поверхностных зарядов в общем случае имеет вид

где р - плотность объемных зарядов, ст - плотность поверхностных зарядов, т - мощность двойного слоя. Приведя (1) к виду (2), получим

, 1 aQifc , 1 dQin , 1

= 2-а "=-2--а fc = 2Q*=ini- (3)

Таким образом, квадрупольная поляризация эквивалентна объемным зарядам р внутри диэлектрика, поверхностным зарядам ст и двойному электрическому слою с мощностью г на поверхности диэлектрика. Поскольку

учитывать только члены, линейные по а = 2кТ° Использовав далее формулы Р = Np = аЕо, получим окончательно

2 {01-Ш1