H.dl = J?,

где I - любой контур, охватывающий ток Вводим цилиндрические координаты г, а, 2 и шцем решение в виде ф = ipia). Окончательно получим

ф = -Ц-а, На = Цг, Нг = Н, = 0.

255. а) Чтобы скалярный потенциал ф магнитного поля был однозначной функцией, выберем некоторую поверхность S (рис. 69), опирающуюся

Поскольку плотность тока зависит от угла по закону sin естественно искать решение уравнения (1) в виде

Аа{г,в) = F{r)sm. (2)

Как будет видно из дальнейшего, F{r) можно выбрать так, чтобы удовлетворялись уравнение и граничные условия, и это оправдывает выбор решения (2). Ошетим, что векторный потенциал (2) удовлетворяет условию

divA = 0,

выполнение которого необходимо, чтобы имело место (1).

Определяя F{r) с помошью уравнения (1) и граничных условий, получим и Н = rot А.

Напряженность магнитного поля внутри сферы (г < а)

при г > а

3r(m • г) m

где m = - магнитный момент системы.

254. В точках, где j = О, можно положить Н = -gradг/». Тогда уравнение rotH = О выполняется при всех ф, а уравнение divH = О дает

AV = 0.

Последнее уравнение должно быть решено при дополнительном условии

на контур с током, и будем считать, что при переходе через эту поверхность ф терпит разрыв:

i2)-il) = J. (1)

Точки 1 и 2 лежат бесконечно близко друг к другу по разные стороны поверхности, причем направление из 1 в 2 составляет с направлением тока правовинтовую систему.

Решение уравнения Лапласа можно записать в виде (см. [101]):

Рис. 69

В выражении (2) интегрирование нужно проводить по бесконечно удаленной замкнутой поверхности S, а также по всем замкнутым поверхностям Sj, лежашим на конечном расстоянии от начала координат, внутри

которых ф или имеют разрывы. В рассматриваемом случае интеграл по on

бесконечно удаленной поверхности равен нулю, так как источник поля (контур с током) имеет ограниченные размеры. Поверхности, на которых нор-

дф гг тг

мальная производная = -Нп имеет разрыв, отсутствуют, так как Я„ - on

непрерывная величина. Поэтому в (2) интеграл должен быть взят по одной

поверхности И, окружающей S.

Будем стягивать II до совпадения с S. Вследствие непрерывности ве-

1 дф личин -,

г on

и на поверхности S, формула (2) примет вид

V = -/[V(l)-V(2)]£(i)d5,

где интегрирование теперь ведется по незамкнутой поверхности S. Используя равенство (1), получим

, J f д /п .<j J fr-ds = j д\г) = -т j

Интеграл / 3 представляет собою телесный угол fi, под которым виден

контур с током из точки наблюдения, поэтому формулу (4) можно записать в виде

Знак fi положителен, если радиус-вектор г, проведенный из точки наблюдения в некоторую точку поверхности S, и направление тока в контуре составляют правовинтовую систему.

б) Преобразуем интеграл по контуру в интеграл по поверхности, опирающейся на контур; используя результат задачи 55, получим

A=/dSxv(i) = /vM(i)xdS,

где Vm означает дифференцирование по координатам точки наблюдения М. Вычисляя Н = rot А, находим:

Н = IУ(dS . V) (i) = Vm / dS . Vm {\). (5)

При преобразовании использовано равенство Af) =0; предполагается,

что точка г = О не лежит на поверхности интегрирования. Сравнивая (5) с формулой Н = - gradV, получаем

* = -/.v„(l)=-/L = -n.

256. F = О, N = m X Н, где m = Jn-dD - магнитный момент контура с током.

JJ И11 тг 3(mi •r)(m2 - г)

о -1с

F2 = -Fi = -g[(mi-r)m2-l-(m2-r)mi--(mi-m2)r]-(mi-r)(m2-r)r, г° г

где г - радиус-вектор, проведенный от первого тока ко второму, Fi, F2 - силы, действующие на первый и второй токи;

3(m2 •r)(mi X г) тз х гщ

5 + гЗ

3(mi • г)(т2 X г) mi X m2 JN2 =-5-+