на шкале 6, которые соответствуют конечной величине зерна. Пересечение со шкалами 4 и 5 дает искомые значения К. Для определения аш/Ос найденные на шкале 4 величины перенести на шкалу 2 и провести из них и точек на шкалах 5 горизонтальные линии до пересечения со шкалами 3 и 7. Как видно из номограммы, влияние микрогеометрии токонесуш.их поверхностей на величину затухания в симметричном полосковом волноводе, обусловленного потерями в металле проводников, значитель-но и при изменении величины К в пределах 1,2-1,5 значение Пт изменяется в пределах (1,2-1,92), Сс для да г=0,1-3.

§ 6.2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ВОЛНОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПОЛОСКОВЫХ ВОЛНОВОДОВ в ЗАВИСИМОСТИ ОТ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

При изготовлении полосковых волноводов неизбежен разброс геометрических размеров (ширины полоскового проводника W, толш.ины диэлектрика h) относительно номинальных величин. При определении статистических параметров волнового сопротивления для полосковых волноводов необходимо определить плотность вероятности этого сопротивления при нормальном законе распределения геометрических размеров.

Рассмотрим случай несимметричного полоскового волновода с w/hl. Для этого используется выражение

-L(,/s)-.lni; 1-1.26.10-

(6.18)

Для симметричного полоскового волновода с

<0,35выражение (6.18) принимает вид:

60 , 16Л Zo=--In

2h - t

<

ЕЭКВ

(6.18а

где W и h - случайные величины, распределение которых подчиняется нормальному закону. Для определения плотности вероятности волнового сопротивления необходимо найти плотность вероятности логарифма отношения двух случайных величин w и h, имеющих нормальные законы распределения вероятностей.

Выражение для плотности вероятности случайной величины т1=/(1, п), если известна совместная функция распределения w(Xi; xi, Дп) случайных величин

Х>2\ :, In, следующее:

оо 00

Xdx.. .dx„.

6.19)

Для функционального преобразования двух величин (п=2) выражение (6.19) имеет вид:

оо оо

WAy)= j j 8[/К; X2)-y]w2ix,; X2)dx,dx2. (6.20)

- 00 -00

Вначале рассмотрим случай ti = i/2, т. е. z= =f(xi; X2)=Xi/X2. Заменяя Х2 его выражением через xi и z и интегрируя по z, обозначив Xi=Ui, получим

W,{y)= w,u;-)du. (6.21)

- 00

Запишем двумерную плотность вероятности отношения совместно нормальных и случайных величин в (6.21):

Щ{х1; Х2)=

(X, - Л)2

2R

(JC -h)(X2-

, (6.22)

где h, oi, (О, 02 -средние значения случайных величин и 2 соответственно; /? -коэффициент корреляции между 1 и 2-

Подставив (6.22 ( и (6.21), получим выражение для плотности вероятности случайной величины r\ = i/2-

W,{y)-.

2naia2l/2/l ft2

(И-Л)2

2(1 -Д)2

/и \ / и \

2;?(«-А)(--.) (--.)

\u\du. (6.23)

Преобразуем показатель степени в подынтегральном выражении. Раскрыв скобки и обозначив

2(1 + «2) о22

2(1-Ri)<>l4y

А2а2 - 2/?wAaia2 -f wa 2(1-Л2) „2,2

(6.24)

имеем

ехр(-С)

2jtaia2l/2"/l -«2 J

J \ u\exp[-{Au-2Bu)]du.

(6.25)

Дополним показатель экспоненты в этом выражении до полного квадрата:

= ехр

\ иехр

I В2 \

в \2

du. (6.26)

Произведем замену переменных t=uYА - Bjy"~A

[ нехр[-(Л«2-2Вм)]сги==-Лг ехр 5 1/л

/ S2 \

аУ А

В2 \

оо 00

X J exp(-2) .exp(jexp(-2)rf. (6.27)

Заменив переменную интегрирования z-t, вычислим интегралы уравнения (6.27):

[txp{-f)dt=-Y\z exp(-2)fif2= о о

1 М- •

2 Uj 2

pexp(-r-)r = Jex5

{~z)dz=-

Подставляя вычисленные значения интегралов в (6.25), получим

2ЛЧ1Ч2УА у 1 - Л2

. (6.28)

Заменив А, В, С их значениями из (6.24), найдем выражение для плотности вероятности отношения размеров поперечного сечения полоскового волновода:

Vl-R

-{h-bjf)

expX

2(a2 2ftaia2(/,-)-o2(/2)

2(1-

(l-ft2)

a, (m>a, - Rha2) -b Д2У (°2 - /?Woi) <1<2("1-2Ло102«-Ь "22)2

(6.29)

Для нормированных значений вариаций случайных величин ai/h=yi, 02/0 = 72 и hjw = q это выражение примет вид:

Vl-R

7i72

Tft?2-2ftTf,729«/-bT2!/2

+V 2(1-Л2) •

X exp

2(lq\-2Rг29У + lУ)

(6.30)

Рассмотрим теперь закон распределения случайной величины Zo, связанной со случайными величинами и 2 соотношением

C=aln/6-j = aIh(/6Ti). (6.31)

Выражение для плотности вероятности отношения двух случайных величин определяется соотношением (6.21), а плотность вероятности случайной величины определяется соотношением

= ™.[/(o)I

Для рассматриваемого случая

Za=a\nky-=f[y);

(6.32)

\ a I

dy 1 dZo ak

Тогда W[Z)=W

\ a j

Подставив в (6.21) вместо у его значения через Zq, получим

U7,(Zo) = exp(-l]x д \ а ]

X j" «а2 и; kuexp - -

(6.33)

Подставляя (6.29) в (6.33), определим плотность вероятности логарифма отношения размеров полоскового волновода. После подстановки и некоторых преобразований

U-i(Zo)=~ X

oi02 ехр

k2,l 2№ia2 ехр + 4 ехр (- j

X l-fl/TIZZx 2(1-/гг)-

ifeoi (дао, - Rhts2) + 02 (Аа2 - Rwdi) ехр j

Хехр -

Й2а2 2R;i,jC2 ехр + (}

kh - w ехр j

*2а2 2«*aja2 ехр -- + а ехр

(6.34)

Для нормированных значений, учитывая (6.30), выражение (6.34) можно переписать:

Тагехр

Hv"" - 2/?7iT2*9 ехр () + 2 ехр (-j

Х 1-fl/ " X V 2(1-Д2)